FXの相対取引とは

確率論で取引する

確率論で取引する
サイコロを投げて、「1」の目が出る確率はいくつだと思いますか?サイコロは六面体だから、簡単に確率は6分の1と考える人が多いと思います。しかし、それは本当でしょうか?まず、実際にそれを確認することはできません。サイコロを無限に投げ続けるとは原理的に不可能ですし、また、サイコロの重心が厳密に中心にあるかどうか、あるいは素材の偏りやゆがみがないとも限りません。もっとも、最近、チタン製の重心が中心にある世界一正確なサイコロがつくられたというニュースがありましたが. 。誰も実証したことがないにもかかわらず、我々は「確率6分の1らしい」と解釈しているのです。自動車保険の分野では、統計的に交通事故の確率を算出して保険料に反映しています。一定のサンプルサイズがありますし、事故を起こしやすい人の保険料が高くなるような計算にも一定の理論がありますので、確率を活用しやすい分野といえます。また、生命保険はサンプルサイズがとても大きいため、経験的法則と理論的法則が一致する「大数の法則」が働いて、ほぼ決定論的に定量化することができます。つまり、伝統的な生命保険数学では、確率論を意識する必要がないのです。もちろん、リスク細分型などの契約者数が少ない場合には確率を使って見積もっていく必要があります。一方で、2011年3月には東日本大震災が大変な被害を及ぼしましたが、このような災害については、確率を使って何かを言えるかというと疑問があります。それは、何百年に一回といった定量的に見積もることが困難なほど少ないサンプルしかないため、理論がどこまで現実に応用できるかの検証が非常に難しいからです。何が言いたいのかというと、確率の本質については、いまだにハッキリとわかっていない「モヤモヤ」したところがあるということです。確率とは何かという哲学的な側面は棚上げして、確率が満たす数学的性質を定式化して研究を進めているというのが現状なのです。

統計学基礎/確率

確率という言葉は, 今日ではいろいろな場面で使われる. 降水確率や, 合格確率, 事故の起きる確率, 宝くじの当選確率などその使われ方は多岐に渡る. 大抵の場合確率何%(パーセント)というように, パーセント表示されるが, %とは本来per centつまり100あたりいくらか?という値を示す記号である. 例えば, 降水確率で考えてみると, 降水確率40%とは, 同じような天気図になった日が100日あったとしたら, その内40日は雨が降るということになる. 100日あたり40日ということは, 1日あたり 40/100=0. 4 の割合で起きていることになる. 必ず雨が降ると言われている100%であれば, 100÷100=1の割合で起きるということで, 必ず降らないと言われる0%であれば, 0÷100=0 の割合で起きるという予測になる. つまり確率というのは0から1までの値を取る.

確率というのはこのように「ある物事が起こる割合」として考えられる.

割合と確率 編集

標本空間で定義したとおり, 標本空間や事象というのは「起こりうる結果(標本点)の集合」だった. ある事象Aが起こる確率 P(A) とは, 実験を沢山繰り返した時に, Aが起こる割合の事である.確率論で取引する

例えば, コイン投げであれば, 表が出る確率は1/2である. 1回コインを投げて表が出たとすると, 全1回の試行中, 1回表が出たので, 表が出た割合は1÷1=1になる. もう1回投げて, 確率論で取引する また表が出たとすると, 表が出ている割合は2÷2=1である. 全然, 1/2と違うのではないか?と思われるかも知れない. しかし重要なのは「沢山」繰り返した時にということである. コイン投げを10回,100回と繰り返すと、限りなく1/2に近づくのである。

確率の公理 編集

記号の定義 編集

確率の公理 編集

次の3つの式の事を確率の公理という.

これらの性質を持つ P(x) の事を確率(確率測度)という. 最初についてる P1 , P2 , P3 は, これから説明するための便宜上の番号である.

P1 の式は, 確率は 0 から 1 までの値を取るという意味である. 説明したとおり確率というのは, 実験回数に対してその事象が起きている「割合」である. 世の中には「合格確率 120 %」のような変な言葉もあるが, 同じような実力の人が 100 人集まって入学試験などを受験して 120 人合格するなどという変なことはない. 100 人しか受験していないのなら, 合格する人数の最大値も 100 人ですし, 割合の最大値も 1 である.

P2 の式を見てください. 標本空間 Ω は起こり得る全ての結果の集合なので, 実験を何度繰り返しても, Ω に含まれる標本点のうちのどれか 確率論で取引する 1 つが「必ず」起きている. したがって, 標本空間という事象が起きる確率は 1 となる.

P3 の式が一番分かりにくいかもしれない. 「 確率論で取引する σ -加法性(しぐまかほうせい)」という難しい名前もついている.

総和記号が分かりにくいと思う人は P(A1A2 ∪ … )=P(A1)+P(A2)+… という式だと思うとよい.

背反事象とは何だったか思い出すと, AjAk = φ の時, 即ち, 確率論で取引する AjAkに重なりが無いとき, この AjAkは背反事象になる. 互いに背反とはどういう意味なのかといえば, j ≠ k の時 AjAkが背反事象, 即ち, どの 2 つの事象を取ったとしても, 互いに重ならないという意味である.

たった3つの確率の公理からいろいろな事が分かる.

空事象の確率 編集

まず A1 = Ω ととり, k ≥ 2 のときは Ak = φ 確率論で取引する とする. この時, P3 の式は

P(Ω)=P(Ω)+P(φ)+P(φ) …

だから, P1 , P2 の条件より, P(φ )=0 とわかる.

P3 の条件について少し補足する. 任意の事象xに対して x ∩ φ = φ である. つまり, 空事象と他の事象の共通部分(積事象)は, 空事象である. 空事象同士の共通部分も空事象である. これは, 空事象と任意の事象xは背反事象であることを示している. したがって, P3 の条件を満たし, P3 の式が使えるということになる.

有限加法性 確率論で取引する 確率論で取引する 確率論で取引する 編集

まずは, P(φ )=0 という式が得られた. これから, P3 確率論で取引する 確率論で取引する の式についてもう少し条件を厳しくして k > n のときは Ak = φ とすると, P3 は次のように書き換えられる.

k > n のときは, P(Ak )= P(φ) =0 であることを使った. なんだか回りくどいことをしてると思われるかもしれないが, 数学では最初に決めておく約束事は少ない方がよく, その少ない約束事からいかに多くの事実を導き出せるか?ということが数学の面白さでもある.

差事象と補事象 編集

差事象 A - B について (A - B) ∪ (AB) = 確率論で取引する A かつ (A - B) ∩ (AB) = φ なので

P(A)=P(A - B)+P(AB) P(A - B)=P(A)-P(AB)

ここで, AB であれば AB=B なので

P(確率論で取引する 確率論で取引する A)=P(A - B)+P(B) ≥ P(B)

また, A = Ω であれば, 差事象 確率論で取引する Ω - B は, 事象Bの補事象 B c の事なので

P(B c )=P(Ω)-P(B) = 1-P(B)

となる. ここまで来て, 勘の良い方は気付くかも知れないが

P(B c )= 1-P(確率論で取引する B) ≥ 0

P(B) ≤ 1

である. この不等式を導くまで, P1 の不等式 0 ≤ P(A) ≤ 1 は, 左側の不等号しか使ってないことに注目すると, P1 の右側の不等号は余分ということで, P1 は次のようにも書き換えられる.

P1′: 任意の事象Aに対し P(確率論で取引する A) ≥ 0

和事象 編集

AB = (A - B) ∪ B かつ (A - B) ∩ B = φ ですから和事象 AB について

P(AB) = P(A - B)+P(B) = P(A)+P(B)-P(AB)

特にABが背反事象であるときにP(AB)=P(φ)=0 なので, これは有限加法性 P4 の式になる.

定義 編集

P(A)>0 のとき

条件付き確率という.

P(B|A)は, 全事象をΩ 確率論で取引する からAに取り替えたときの事象Bの起きる確率と考えることができる. 即ち, P(B|A)は事象Aが必ず起きるという条件の元での事象Bの起きる確率である.

このとき, Aは全事象と考えるのだから

である. これは, 確率の公理の P2 に当たる式になる. Aを固定したとき P(x|A)という関数が P1P3 も満たし, 確率となることが分かる.

乗法定理 編集

P(A∩ 確率論で取引する B) = P(A)P(B|A)

乗法定理と言う. 条件付き確率の定義では P(A)>0 を仮定したが, このように見てみると P(A) ≥ 0 に拡張しても問題ないと分かる. 定義の項では, 何故このような細かい条件をつけたりしたのかと言えば, 割り算において 0 で割るという操作は認められてないためである. 分数の分母に 確率論で取引する 0 が来ることは避けなければならない.

独立性 編集

事象AB

P(AB)=P(A)P(B)

を満たすときAB独立であると言う.

P(A c 確率論で取引する ∩ B) = P(B)-P(AB) = P(B)-P(A)P(B) = (1-P(A))P(B) = P(A c )P(B)

つまり, Bの起きる確率はAが起きたかどうかに寄らないということである. P(A) = 1 or 0 の時は, A が必ず起きたり, 必ず起きなかったりするので, 確率論で取引する この場合 B の起きる確率と A は関係しない.

ベイズの定理 編集

見た目が全く同じ箱が 2 つある. 箱1 と 箱2とする.

箱1には赤玉が 9 個, 白玉が 1個 箱2には赤玉が 2 個, 白玉が 8個

入っているとする. どちらの箱か分からないが, 確率論で取引する 手を入れて玉を一つだけ取りだしてみると赤い玉だった. この場合, 選んだ箱が箱1である確率はいくつだろうか?箱を選ぶ確率はどちらも等しく(1/2) であるとする. 箱1の方が赤玉が出やすそうであるので, 箱1の方を選んでいた可能性は高そうだろう. すなわち, 赤玉が出たという事が決定した後では, 箱1と箱2のどちらを選んだか?という確率は等しくなさそうである. このような確率をどのように調べたらいいだろうか?というのがこの節の目的である.

とわかる. これをベイズの定理という.

この式の右辺の分子の意味は, Biが起きてAが起きる確率である. それをP(A)で割っている. すなわち A が結果として起きたときに, Bi が起きている確率という意味である. P(確率論で取引する Bi)を事前確率, P(Bi|A)を事後確率という.

ワンポイント講座 超カンタン! 経済学・金融論入門ナビ

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■お金持ちになるには?

答えは、 価格の動き を見通すことにあります。

■3つの価格に注目!

金融商品の価格には、 株価、金利、為替レート があります。

金融商品を 安い時に買って、高いときに売れば よいのです。

■価格は予測できるの?

そこで、 分析 によって、価格を予測しようとしています。

■分析にはどんな方法があるの?

チャート分析のことを テクニカル分析 といいます。

これを ファンダメンタル分析 といいます。すなわち、

富を増やしたい → 価格を予測したい → 経済学と金融論を学ぶ必要がある! となるのです。

では、 経済学と金融論ってどんな学問 なのでしょうか?

経済学と金融論とは、 富 について研究する学問です。

富を捉える2つの視点があります。 価格と取引量 です。

■経済学って、どんな勉強をするの?

経済学では、「 財やサービスの流れ 」を捉えます。

マクロ経済学 のテーマは、一国の「 取引量 」である GDP です。

一方、 ミクロ経済学 のテーマは、個々の取引に決まる価格です。

お互いが満足したときに決まる、「 価格 」について研究します。

経済学では、需要と供給が 均衡 するところに価格が決まると考えます。

■金融論って、どんな勉強をするの?

金融論では、「 お金の流れ 」を捉えます。

マクロで捉える金融論では、社会全体の通貨量である マネーストック を研究しています。

一方、ミクロで捉える金融論では、金融商品の価格である 株価、金利、為替レート が決まる仕組みを考えます。

リスクの価格付け理論である オプション理論 を研究したり、最適な投資について考える ポートフォリオ選択論 を研究しています。

ポートフォリオとは、金融商品の 最適な組み合わせ のことです。

■経済学と金融論の課題はなに?

経済学では、 稀少性 の観点から資源配分問題を考えます。誰が何をどれだけ生産するのかという 選択の問題 から、 満足度 を高める方法を模索します。

金融論では、金融取引を リスク と リターン で考えます。

金融取引では、 信用 が大切であることを学びます。

【参考文献】

● 諸国民の富 アダム・スミス著(大内兵衛、松川七郎訳) 岩波文庫
● 純粋経済学要論 レオン・ワルラス著(手塚寿郎訳) 青空文庫
● 雇用・利子および貨幣の一般理論 確率論で取引する ジョン・メイナード・ケインズ著(塩野谷祐訳) 東洋経済

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不確実性はどこまで定量化できるか?確率を学ぶ意味は?

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サイコロを投げて、「1」の目が出る確率はいくつだと思いますか?サイコロは六面体だから、簡単に確率は6分の1と考える人が多いと思います。しかし、それは本当でしょうか?まず、実際にそれを確認することはできません。サイコロを無限に投げ続けるとは原理的に不可能ですし、また、サイコロの重心が厳密に中心にあるかどうか、あるいは素材の偏りやゆがみがないとも限りません。もっとも、最近、チタン製の重心が中心にある世界一正確なサイコロがつくられたというニュースがありましたが. 。誰も実証したことがないにもかかわらず、我々は「確率6分の1らしい」と解釈しているのです。自動車保険の分野では、統計的に交通事故の確率を算出して保険料に反映しています。一定のサンプルサイズがありますし、事故を起こしやすい人の保険料が高くなるような計算にも一定の理論がありますので、確率を活用しやすい分野といえます。また、生命保険はサンプルサイズがとても大きいため、経験的法則と理論的法則が一致する「大数の法則」が働いて、ほぼ決定論的に定量化することができます。つまり、伝統的な生命保険数学では、確率論を意識する必要がないのです。もちろん、リスク細分型などの契約者数が少ない場合には確率を使って見積もっていく必要があります。一方で、2011年3月には東日本大震災が大変な被害を及ぼしましたが、このような災害については、確率を使って何かを言えるかというと疑問があります。それは、何百年に一回といった定量的に見積もることが困難なほど少ないサンプルしかないため、理論がどこまで現実に応用できるかの検証が非常に難しいからです。何が言いたいのかというと、確率の本質については、いまだにハッキリとわかっていない「モヤモヤ」したところがあるということです。確率とは何かという哲学的な側面は棚上げして、確率が満たす数学的性質を定式化して研究を進めているというのが現状なのです。

商学研究科准教授
高岡浩一郎
(たかおか・こういちろう)
1971年東京生まれ。1993年東京大学理学部数学科卒。同大大学院数理科学研究科修士課程修了後、1995年東京工業大学理学部助手。1998年に一橋大学に移り、現在、商学研究科准教授。

確率論で取引する

一般の方々から 『何が分からないかが、分からない』と言われます。 上記のニュースレターの解説を図解して、”因数分解”すると 確率論で取引する 図3a になります。

" M7クラスの首都圏直下型地震は, 3.11の前から、3.11の後も、いつ起こってもおかしくない状況・状態は変わらないのに 地震学者が、地震の発生確率を 30年以内 確率論で取引する に70%程度から、3.11後、首都圏の小さい地震が増えたからといって、地震の発生確率を 4年以内 に70%程度と、確率が”増大したように思います。 どういう”カラクリ”でこうなったのか? 30年以内でも、4年以内でも 確率は同じ70% ? これって 確率は増大したといえるか?

説明しやすいように 図3a を 図3b のように、ちょっとだけ読み替えてみます。

30 年以内に70%を--> 40 年以内に70%

4 年以内に70%を--> 5 年以内に70%

小さい地震が 9倍 増えたを--> 8 倍 増えた

銀座へは月に1回=年12回、 香港へは1年1回 、ハワイへは4年に1回、パリには8年に1回買い物に行っています。

25歳の妻は今後40年以内で70%の確率で、スペースシャトルに乗って 月(Moon) に買い物に行ける可能性があると言っています。

ある年に妻が渋谷へ 8倍の頻度 で買い物の出かけに行った(1年に480回(X8倍)とすると、銀座へは年96回、香港 へは年8回、ハワイへは年2回、” 同じ一定の比率で” 買い物に行っていることになります。

つまり渋谷への買い物 = 確率論で取引する 小地震、ハワイ・パリでの買い物 = 中地震と すると 、この比率は常に一定なのです( グーテンベルグ・リヒター則 のこと)。

70%の確率で月(Moon) への買い物のは "40年で8回" = "5年で1回"の可能性になります。 妻が1年に8倍(480回)の頻度で渋谷へ買い物に行けば(小さい地震が8倍に増えれば)、妻が70%の確率で 月(Moon)にスペースシャトルに乗って買い物に行く可能性は 40年に1回 から 5年に1回 になります。

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