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デルタ関数とその性質

デルタ関数とその性質
|=R_0>\frac<|\bm|^2>\mathrmS_>&= \oint_<|\bm|=R_0>\frac\mathrmS_>\\&= \frac \oint_<|\bm|=R_0>\mathrmS_>\\&= \frac 4\pi R_0^2" デルタ関数とその性質 />

また,デルタ関数です.すみません.

\bigtriangleup(\frac<1></p>
<p>次の式が成り立つそんなんですが,どうしてかよくわかりません. )=-4\pi\delta(r) 一様自分でも調べてみたけど,超関数?とかよくわかりませんでした. お願いします!!

Re: また,デルタ関数です.すみません.

toorisugari no Hiro デルタ関数とその性質 さんのレス (2008/10/31(Fri) 19:25)

(1)ガウスの発散定理,ご存じですか? (2)(スカラー)ラプラシアンを ,\mathrm,\mathrm" /> で表すと? (3) |" /> として \,(r)" /> の値は? \,(1/r)" /> の値は? (4)球面における面積積分

&\oint_<|\bm<r></p>
<p>|=R_0> \left(\frac\right)\mathrmS_>

&\int_<|\bm</p>
<p>| \triangle\left(デルタ関数とその性質 \frac\right)\mathrmV_<\bm>\\&\int_<|\bm| \delta(\bm)\mathrmV_<\bm>\qquad(\delta(\bm)=\delta(x)\delta(y)\delta(z))

Re: また,デルタ関数です.すみません.

snow さんのレス (2008/10/31(Fri) 19:54)

あぁ,ガウスの発散定理かぁ.えーと, \right)\mathrmV" /> は立体角になりますね. だから, で, よって, )=4\pi\delta(r)" /> でいいのかな? あれ?マイナスの符号が・・・.

Re: また,デルタ関数です.すみません.

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/10/31(デルタ関数とその性質 Fri) 20:00)

&\int\triangle\left(\frac<1></p>
<p>>あぁ,ガウスの発散定理かぁ.えーと, > \right)\mathrmV は立体角になりますね.

Re: また,デルタ関数です.すみません.

snow さんのレス (2008/10/31(Fri) 20:15)

えーと, \right)\mathrmV=\int\bigtriangledown(\frac)\cdotdS=\int\frac\cdot>>dS" /> 積分範囲が なので, \cdot>>dS=4\pi" /> だと思ったのですけど・・・.

Re: また,デルタ関数です.すみません.

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/01(Sat) 12:41)

Re: また,デルタ関数です.すみません.

snow さんのレス (2008/11/01(Sat) 13:31)

4\pi

ではないですね.すみません.

\int_</p>
<p>\frac\cdot>>dS_>=\int_(デルタ関数とその性質 \frac)dS_>=\int_\fracdr\int d\theta=\frac<-4\pi> ここまであってますか?

Re: また,デルタ関数です.すみません.

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/01(Sat) 14:24)

\oint_<r=R_0></p>
<p><blockquote>\frac\mathrmS_> が何故負になるのでしょう.

\oint_<r=R_0></p>
<p>\mathrmS_> の値は求められますか?

Re: また,デルタ関数です.すみません.

snow さんのレス (2008/11/01(Sat) 14:57)

\oint_<r=R_0></p>
<p>そうですね.どうも,予定調和な考え方をすぐしてしまいます. デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 悪い癖ですね.以後,気をつけます. えーと, \mathrmS_> の値ですか・・・. よくわかりません.

Re: また,デルタ関数です.すみません.

toorisugari no Hiro デルタ関数とその性質 さんのレス (2008/11/01(Sat) 15:19)

Re: また,デルタ関数です.すみません.

snow さんのレス (2008/11/01(デルタ関数とその性質 Sat) 15:30)

Re: また,デルタ関数です.すみません.

toorisugari no Hiro さんのレス (デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 2008/11/01(Sat) 15:36)

\oint_<|\bm<r></p>
<p>そういうことです. |=R_0>\mathrmS_> という式を日本語に変換できないと,球の表面積になることを実感できないとは思いますが...

\oint_<|\bm<r></p>
<p>で |=R_0>\frac<|\bm<r>|^2>\mathrmS_> の値は? 式をよくみれば,変形できますね.

Re: また,デルタ関数です.すみません.

snow さんのレス (2008/11/01(Sat) 18:07)

Re: また,デルタ関数です.すみません.

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/04(Tue) 11:デルタ関数とその性質 24)

Re: また,デルタ関数です.すみません.

snow さんのレス (2008/11/05(Wed) 21:22)

Re: また,デルタ関数です.すみません.

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/05(Wed) 21:49)

|=R_0" /> という式の意味がわかりますか? どういう図形を指しているのか分かりますか? |=R_0>\mathrmS_>" /> の値は分かりますか?

Re: また,デルタ関数です.すみません.

snow さんのレス (2008/11/05(Wed) 23:51)

|=R_0" /> は から の範囲で積分するって意味では?

\oint_<|\bm<r></p>
<p>|=R_0>\mathrmS_>=4\pi R_0^ ではないでしょうか.

Re: また,デルタ関数です.すみません.

toorisugari no Hiro さんのレス (デルタ関数とその性質 2008/11/06(Thu) 00:25)

> |=R_0" /> は から の範囲で積分するって意味では?

" /> は位置ベクトルです. =(x,y,z)" /> と置いたとき, |^2=R_0^2" /> を で書き換えてください. これはどういう図形を指しているのか分かりますか?

Re: また,デルタ関数です.すみません.

snow さんのレス (2008/11/06(Thu) 00:40)

R_0

あー,半径 の球ってことですか?

Re: また,デルタ関数です.すみません.

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/06(Thu) 01:04)

R_0

> あー,半径 の球ってことですか?

|\bm<r></p>
<p>...球でなく,球面です...(球は | )</p>
<p>「 |=R_0>\mathrmS_> は, (閉曲面 |=R_0" /> を複数の微小な領域に分割し,一つの領域の代表点を " /> とし( " /> ),その領域の微小面積を S_" /> であらわすとして,) 閉曲面 |=R_0" /> 上のすべての微小面積を足し合わせたものである.」

R_0

と読みますが,これは半径 の球面の面積そのものです.

すると,半径 の球面上の緯度 ,経度 にある代表点を含む微小面積は, \theta \times デルタ関数とその性質 R_0 \sin\theta\mathrm\phi" /> と表せるので,

\oint_<|\bm<r></p>
<p>|=R_0>\mathrmS_> &= \int_^<\pi>\int_<\phi=0>^ <2\pi>R_0^2 \sin\theta\mathrm\theta\mathrm\phi\\&= デルタ関数とその性質 R_0^2 \int_^<\pi>\sin\theta \mathrm\theta~ \int_^ <2\pi>\mathrm\phi\\&= 4\pi R_0^2

\oint_<|\bm<r></p>
<p>さて, |=R_0>\frac<|\bm<r>|^2>\mathrmS_> の値はもう分かりましたか?

Re: また,デルタ関数です.すみません.

snow さんのレス (2008/11/06(Thu) 01:27)デルタ関数とその性質

4\pi

ではないのですか?

Re: また,デルタ関数です.すみません.

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/06(Thu) 01:37)

\oint_<|\bm<r></p>
<p>|=R_0>\frac<|\bm<r>|^2>\mathrmS_>&= \oint_<|\bm<r>|=R_0>\frac\mathrmS_>\\&= \frac \oint_<|\bm<r>|=R_0>\mathrmS_>\\&= \frac 4\pi R_0^2

\mathrm</p>
<p>\Omega = \frac<|\bm<r>|^2>\mathrmS_>

\oint\mathrm<d></p>
<p>\Omega = 4\pi

次は, (r)" デルタ関数とその性質 /> , (1/r)" /> を計算する番ですね.

Re: また,デルタ関数です.すみません.

snow さんのレス (2008/11/06(Thu) 22:51)

grad(r)=\frac</p>
<p>えーと, >\\ grad(\frac)= \frac> ですよね.

【中学数学】関数とは何ものなのか??〜意味と定義を5分でふりかえる〜

中学数学 関数とは

結構比例や
反比例のことで頭抱えてるんです
もう少し噛み砕いて教えてくれませんか?
特に
①YはXに比例しX=4のときY=-20である
YをXの式で表しなさい
答え、Y=-5
はわかるんですけど
②X=-7のときのYの値を求めなさい
ってなってここが解けなくて答えを見たんですよ
そしたら①の答えのY=-5が関係していて
なんでY=-5が関係するのですか?
教えて下さい!!

質問なんですけど、問題集に【ある数の絶対値をyとする時、yはxの関数ですか? また、xは、yの、関数ですか?】という問題がありどういう風に考えればいいのか、わからないのですけど教えてくれませんか? よろしくお願いします!

今まで中学生の勉強が難し過ぎてついて行けずわからないとこが多かったのですがこのサイトを見つけたおかげで本当にわからないところも解けるようになりました!
本当にありがとうございます!
これからも参考にさせてください!
よろしくお願いします

新体操に振り切ってもいいんじゃないかな!
ただ、授業の時間はみんなと平等に机に座ってると思うから、その時間を有効に使うしかないね。
先生の話を聞いてもいいし、自分で勉強しちゃってもいいと思う

xが変化することで、yが影響を受けるかどうかをみてみればいいね。
姉がいくら大きくなっても、妹は妹。
妹の身長は姉の身長によって変化しないはずだ

質問なんですけど、
四隅から一辺がXcmの正方形を切り取って箱を作る時、箱の底面積をycmとします。
この時、Xとyの変化のようすを表に表しなさい。なお、もとの正方形の一辺の長さは
16センチとする。これが全然分かりません。明日までに返信してくれると嬉しいです

>四隅から一辺がXcmの正方形を切り取って箱を作る時、箱の底面積をycmとします。
この時、Xとyの変化のようすを表に表しなさい。なお、もとの正方形の一辺の長さは
16センチとする

底面積は長方形になるよね?
ってことは、
たてx横
で面積が求められるから、たてと横の長さをxで表してやればいいね!

底辺が5㎝の三角形の高さを決めると、面積が決まる…
という問題があるんですけど、この問題、「〜は・・・の関数である」という言い方で表さないといけないんです。
解き方を教えてください!

とても役に立ちました!
授業中とか寝てたりらくがきしてたりしてて デルタ関数とその性質
全く分からなかったので
ありがたいです!!

テスト期間に入ってて、
急いで勉強しないといけなくて
分からない数学の単語がたくさん出てきたんですけど
関数の意味がいまいち分からなかったので教えていただけて本当に良かったです!
これからも、頑張っていこうと思います!

反比例の式で、「次のx、yの関係について、yがxに反比例するものには〇を、そうでないものには✖を書きなさい。」
①面積が20平方センチメートルの平行四辺形の底辺xcmと高さycm(答えは〇) デルタ関数とその性質
なぜ答えが〇になるのかがどうしてもわかりません。わかりやすく説明してほしいです!

>反比例の式で、「次のx、yの関係について、yがxに反比例するものには〇を、そうでないものには✖を書きなさい。」
①面積が20平方センチメートルの平行四辺形の底辺xcmと高さycm(答えは〇)
なぜ答えが〇になるのかがどうしてもわかりません。わかりやすく説明してほしいです!

比例、反比例の利用の問題はいったん、とりあえず何も考えずにxとyの関係を等式にしてみればいいよ。
この例でいうと、
平行四辺形の面積=高さx底辺
だから、
20 = xy
になるね。
で、あとはこの等式をyについて変形してみればいいんだ。その時にその式が比例なのか反比例なのかそれともどっちでもないのかを判断すればいいよ。
詳しくは「比例と反比例の利用の解き方」を読んでみて

古典的な一次元波動方程式のグリーン関数

古典的な一次元波動方程式で、非斉次項を持つ問題

を解くことを考えます。この形は、有限範囲内しか相互作用を引き起こさない物に十分遠方から波が入射してきた場合を考える際に現れたりします。

この形の方程式が出てくる状況を考えてみましょう。

の問題を考えます。移項して

ですので、グリーン関数を用いると

となります。ここで、

を満たす関数(一般解)であり、グリーン関数を
で与えられます。ここを満たす関数(特殊解)としました。
式(4)の右辺に解\(f(x,t)\)が含まれていますが、このままの形でとどめておきます。この形にしておくと、ほかの式に\(f(x,t)\)をダイレクトに代入できたり、近似を使うときに便利な形です。

今、解きたい問題は、

です。デルタ関数をそのまま扱う場合、積分が絡んでこないと扱うのが難しいです。そうでなければ、フーリエ変換を用いて波数・周波数空間で解いていくのが良いでしょう。グリーン関数や、デルタ関数のフーリエ変換を考えると

となります。ここで、基底関数が\(e^, e^<-i\omega t>\)と符号が異なることに注意しましょう。
また、積分区間はいつも負の無限大から正の無限大であり、いちいち書くのは面倒なので省略しています。
フーリエ変換として考えるのではなく、基底関数へ射影した時の係数と考えましょう。

実際に式(8)に代入すると

となります。

ここで\(e^\)はゼロにならないので、その前の項[ デルタ関数とその性質 ]内がゼロにならなければなりません。よって

が導けます。よって式(9)に代入して

が計算できれば位置と時間のグリーン関数が得られます。

さて、この積分を計算してみましょう。
右辺の\(e^/\omega\)の形を持つ積分は複素関数論において頻出する積分です。この積分の特徴として、\(\omega\)に渡る積分を実軸上で実行する際に、たまたま\(\omega=\pm \sqrtk\)に等しい点を通ってしまうため、実軸上では被積分関数が発散する、という特徴があります。この発散する点は極と呼ばれており、積分を行う際に積分経路をうまく選んで極を迂回しなければなりません。しかし、厄介なことに極を上に回るか下に回るかで積分結果が変わってしまいます。

式(デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 14b)の第一項

について考えます。ヘヴィサイド関数を積分表記で表すと、

と書けることを使います。ここで\(i\)は虚数単位です。もう嬉しいですね。かなり似通った形であることが分かるでしょう。
式(16)の形に持っていくためには変数変換を行えば良さそうです。つまり、極は上に回れば因果律を満たすグリーン関数が得られそうです。

では具体的に計算していきましょう。変数変換\(y=\omega+\sqrtk\)を使って、

となります。分母に\(+i\varepsilon\)を加えるようにして

と求めることができます。

続いて式(14b)の第二項

についても同様に計算していきましょう。変数変換\(y=-\omega+\sqrtk\)を使って、

ヘヴィサイド関数を考えると、

の形が使えそうです(式(16)の\(\omega\to-\omega\)の変数変換ですね)。ですので、

と求められます。

式(18c)と式(22c)より、式(14b)に代入すると

となります。

立ち戻り、変数変換\(\kappa=\sqrtk(t-t’)\)を考えれば、

と、グリーン関数が求められました。グリーン関数は\(x-x’, デルタ関数とその性質 t-t’\)の形をしていることが分かります。そのため、

と書いても良いことが分かるでしょう。ここで、

です。

まとめと補足

まとめますと、偏微分方程式

の因果律を満たす解は、

となります。以上から、波動方程式

の因果律を満たす一般解は

となります。

補足します。因果律を満たすグリーン関数である、ということが暗に意味される場合、積分(29a)の時間に渡る積分はグリーン関数に含まれるヘヴィサイド関数を先に利用して、
デルタ関数とその性質
と積分範囲を組み込んで表記する場合があります。実際の例が式(29c)であり、その時間積分の積分範囲のようになることを見越している、ということです。

少しグリーン関数の物理的な意味を考えてみましょう。
グリーン関数は、ある特定の時刻、ある特定の位置でデルタ関数という非常に特殊な衝撃が生じた結果を記述します。
言い換えれば、偏微分方程式で表されている系が、デルタ関数によってどのような応答を起こすか?という関数です。

矩形関数の部分は、衝撃が生じた後にその衝撃は波及する範囲を表しています。具体的に、時刻\(t=t’\), 位置\(x=x’\)において衝撃が生じた場合、矩形関数の中身が値を持つ範囲は\([x’-\sqrt(t-t’), x’+\sqrt(t-t’)]\)の範囲です。つまり、衝撃が時々刻々と広がっていることを示しています。グリーン関数を図示すると、このような感じです。

衝撃が加わる\(t=0\)を境にグリーン関数が値を持ち始め、それが時間とともに広がっていくのが分かると思います。

矩形関数の中身が値を持つ範囲\(x\)は、時間\(\Delta t=t-t’\)の間に、距離\(x-x’=\pm \sqrt(t-t’)\)だけ波及しますから、衝撃の結果が速度\(\pm\sqrt\)で広がっていることが分かります。
これは、古典的な波動方程式でよく知られているように、系の速度が

の系の速度は\(\pm\sqrt\)である、という事実と一致します。
つまり、衝撃が加わった時刻以外では、系そのものの性質しか存在しませんので、衝撃が波及していく速度が一致することは何ら不思議ではありません。むしろ、一致しなければなりません。

【中学数学】関数とは何ものなのか??〜意味と定義を5分でふりかえる〜

中学数学 関数とは

結構比例や
反比例のことで頭抱えてるんです
もう少し噛み砕いて教えてくれませんか?
特に
①YはXに比例しX=4のときY=-20である
YをXの式で表しなさい
答え、Y=-5 デルタ関数とその性質
はわかるんですけど
②X=-7のときのYの値を求めなさい
ってなってここが解けなくて答えを見たんですよ
そしたら①の答えのY=-5が関係していて
なんでY=-5が関係するのですか?
教えて下さい!!

質問なんですけど、問題集に【ある数の絶対値をyとする時、yはxの関数ですか? また、xは、yの、関数ですか?】という問題がありどういう風に考えればいいのか、わからないのですけど教えてくれませんか? よろしくお願いします!

今まで中学生の勉強が難し過ぎてついて行けずわからないとこが多かったのですがこのサイトを見つけたおかげで本当にわからないところも解けるようになりました!
本当にありがとうございます!
これからも参考にさせてください!
よろしくお願いします

新体操に振り切ってもいいんじゃないかな!
ただ、授業の時間はみんなと平等に机に座ってると思うから、その時間を有効に使うしかないね。
先生の話を聞いてもいいし、自分で勉強しちゃってもいいと思う

xが変化することで、yが影響を受けるかどうかをみてみればいいね。
姉がいくら大きくなっても、妹は妹。
妹の身長は姉の身長によって変化しないはずだ

質問なんですけど、
四隅から一辺がXcmの正方形を切り取って箱を作る時、箱の底面積をycmとします。 デルタ関数とその性質
この時、Xとyの変化のようすを表に表しなさい。なお、もとの正方形の一辺の長さは
16センチとする。これが全然分かりません。明日までに返信してくれると嬉しいです

>四隅から一辺がXcmの正方形を切り取って箱を作る時、箱の底面積をycmとします。
この時、Xとyの変化のようすを表に表しなさい。なお、もとの正方形の一辺の長さは
16センチとする

底面積は長方形になるよね?
ってことは、
たてx横
で面積が求められるから、たてと横の長さをxで表してやればいいね!

底辺が5㎝の三角形の高さを決めると、面積が決まる…
という問題があるんですけど、この問題、「〜は・・・の関数である」という言い方で表さないといけないんです。
解き方を教えてください!

とても役に立ちました!
授業中とか寝てたりらくがきしてたりしてて
全く分からなかったので
ありがたいです!!

テスト期間に入ってて、
急いで勉強しないといけなくて
分からない数学の単語がたくさん出てきたんですけど
関数の意味がいまいち分からなかったので教えていただけて本当に良かったです!
これからも、頑張っていこうと思います!

反比例の式で、「次のx、yの関係について、yがxに反比例するものには〇を、そうでないものには✖を書きなさい。」
①面積が20平方センチメートルの平行四辺形の底辺xcmと高さycm(答えは〇)
なぜ答えが〇になるのかがどうしてもわかりません。わかりやすく説明してほしいです!

>反比例の式で、「次のx、yの関係について、yがxに反比例するものには〇を、そうでないものには✖を書きなさい。」
①面積が20平方センチメートルの平行四辺形の底辺xcmと高さycm(答えは〇)
なぜ答えが〇になるのかがどうしてもわかりません。わかりやすく説明してほしいです!

比例、反比例の利用の問題はいったん、とりあえず何も考えずにxとyの関係を等式にしてみればいいよ。
この例でいうと、
平行四辺形の面積=高さx底辺
だから、
20 = xy
になるね。
で、あとはこの等式をyについて変形してみればいいんだ。その時にその式が比例なのか反比例なのかそれともどっちでもないのかを判断すればいいよ。
詳しくは「比例と反比例の利用の解き方」を読んでみて

【フーリエ変換とは?第一編】フーリエ級数とは何?その導出方法についてご紹介

【フーリエ変換とは?第一編】フーリエ級数とは何?その導出方法についてご紹介

$$
\begin
\int_<-\pi>^\pi f(デルタ関数とその性質 x)\cos nx dx &=& \int_<-\pi>^\pi\fraca_0 \cos nx デルタ関数とその性質 dx + \int_<-\pi>^\pi a_1 \cos x\cos nx dx \cdots \\ \\
&+& \int_<-\pi>^\pi b_1 \sin x\cos nx dx +\int_<-\pi>^\pi b_2 \sin 2x\cos nx dx \cdots \\ \\
&=& \int_<-\pi>^\pi a_n \cos nx\cos nx dx \\ デルタ関数とその性質 \\
&=& \pi a_n \tag
\end
$$

よって、
$$ デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 a_n = \frac <\pi>\int_<-\pi>^\pi f(x)\cos nx dx$$
となり、(2)式が導出されます。

ここで(4)式の導出の過程で、なぜ\(\int_<-\pi>^\pi a_n \cos nx\cos nx dx\)だけが残るのか?という疑問が生じるかもしれません。

そこで登場するのが『 クロネッカーのデルタ 』と呼ばれる下記の数式になります。

$$\frac <\pi>\int_<-\pi>^\pi \cos nx デルタ関数とその性質 \cos mx dx = \delta_ \mbox<(m, nは整数)>$$

$$\frac <\pi>\int_<-\pi>^\pi \sin nx \sin mx dx = \delta_ \mbox<(m, nは整数)>$$

クロネッカーのデルタ\(\delta_\)は面白い性質をもっていて、m = n の時は1で、m ≠ n の時には0になります。

『 2つの関数を掛け合わせて積分すると0になる性質 』を関数でいう『 直交性 』といいます。ここでの直交性とは、一般的に使われる2つの直線が交わる角度が90°の直交とは別の意味なので分けて考えて下さい。

(4)式では、\(\int_<-\pi>^\pi a_n \cos nx\cos nx dx\)以外は全てm ≠ nであり 直交性があるので『m ≠ nの時の答えは全て0』 になります。

ちなみに本当に0になるかどうかはここでは省略しますが、試しに\(\int_<-\pi>^\pi a_n \cos x\cos 2x dx\)などを計算してみたら分かると思います。

三角関数の 『積和の公式』 を用いて計算すれば解が0になる事が分かるはずです。

フーリエ係数の\(b_n\)について、つまり(3)式についても同様の手法で(1)式の両辺に\( \sin nx \)をかけて\( -\pi\)≦\( x\)≦\( \pi\)の範囲で積分します。

そして、クロネッカーのデルタの性質を利用すれば、\(b_n = \frac <\pi>\int_<-\pi>^\pi f(x)\sin nx dx\)が導き出せます。

フーリエ級数の係数の\(a_n\)と\(b_n\)の持つ意味とは?

フーリエ級数は1~nまでのn個ある\(\sin nx\)と\(\cos nx\)のすべてが互いに直交しており、それらの足し合わせで関数\(f(x)\)を近似します。

つまり、係数\(a_n\)と\(b_n\)は\(\sin nx\)と\(\cos nx\)はどの程度\(f(x)\)に近いかを示す重み付け的な係数になります。

例えば関数\(f(x)\)が\(\sin nx\)に近い要素を持っているとすると、係数\(b_1\)デルタ関数とその性質 が大きい値となり、逆に関数\(f(x)\)が\(\cos 3x\)の要素をほとんど持っていないとすると、係数\(a_3\)は小さい値となります。

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